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1. 我所寫的文章、考卷及解答，歡迎非商業性的轉載、改作及使用，但請註明出處。 2. 請勿在回文處放上廣告，發現後一律刪除！

最近從葉組長那得知，這學期他們利用Google協作平台，設置了一個物理科的新網頁，網址是 http://sites.google.com/a/ymsh.tp.edu.tw/physics/

目前網頁已經有了一些內容，同時也開放權限給我，讓我成為協作者之一。我後來試用了一下，發現Google協作平台操作非常簡單，頁面編排的作法和iGoogle很像，新增元件之後，只要把元件拖到想放置的位置即可；頁面內容編輯的方法和介面，也和Google文件相同，很容易上手。我之後建立了一個新的頁面，目前頁面暫時稱為王一哲的教學資源，用來放一些我做的考卷、解答和投影片。當然，這個頁面的名字實在沒什麼創意可言。

申請設置協作平台並不難，每個有Google帳戶的人都能申請，容量上限好像是1GB。目前看到有些人將它當成檔案櫃在用，應該也是個不錯的選擇。組長他們是以學校的名義申請，好像容量的上限又更大，詳細的數據我不清楚，但是要我用文件檔將它塞滿，幾乎是個不可能的任務。

為了使內容更充實，之後再從我的blog裡找些與物理相關的文章貼上去，至少看起來東西比較多一點。但目前看來，至少要等到兩禮拜後，等我再次度過段考出題地獄後再說。

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線性代數

線性代數

課程簡介

  1. 重要聲明: 這份講義只是我上課內容的摘要, 光讀這份講義絕對不足以應付考試, 更不足以把線性代數學好, 請同學務必按照進度詳讀課本/參考書並仔細作其中習題. (這裡幾乎沒有習題與例子, 更沒有證明 ...)
  2. 請取得 rlab octave 矩陣計算機 (有各種 UNIX 版本, Windows 版, 甚至有 DOS 版)。 另外 「gnuplot: 函數與資料繪圖」 與本課程無直接關係, 但有助於學習數學。
  3. 參考書: 大學生應該學習選擇適合自己閱讀習慣的書. 這裡所列的未必適合每個人, 只是我個人覺得不錯的書而已. 學期當中這個列表會隨時改變.
    1. R. E. Larson and B. H. Edwards. Elementary Linear Algebra Heath and Company (高立圖書代理)
    2. Steven J. Leon. Linear Algebra with Applications Macmillan (臺北圖書代理)
    我個人的擇書重點供大家參考: 原文 (即作者以其母語撰寫, 可以是中文或英文書); 多一點直覺解釋, 而不是只有證明; 配合軟體操作.
  4. 更多線上講義

已獨立出來的講義

  1. 幾何常識
  2. 矩陣
  3. 用消去法解線性方程
  4. 矩陣的代數運算
  5. Normal Equation 的直覺解釋

若 A 為一 n*n 方陣, 則以下諸命題等價:

  1. A 為可逆
  2. A 與 I 為列等價 (row-equivalent)
  3. |A| != 0
  4. rank(A) = n
  5. N(A) = { 0 }
  6. A 的列向量是 Rn 的一組基底
  7. A 的行向量是 Rn 的一組基底
  8. A x = 0 恰有唯一解
  9. A x = b 恰有唯一解 x = A-1 b
  10. A 可表為數個基本矩陣之乘積
  1. Elementary Matrices
    1. 對一個矩陣 A 做 elementary row operations, 相當於在 A 的左邊乘上 elementary matrices. (越後來乘的, 在越左邊)
    2. 每個 elementary matrix 都是 invertible, 而且它的 inverse 也是一個 elementary matrix. (每一對都長得還很像咧! 而且很容易求.)
    3. invertible 方陣必可化為 elementary matrices 的乘積; 反之, elementary matrices 的乘積當然是 invertible.
    學習重點: 要會把 "elementary row operation" 與 "elementary matrix 對原矩陣的乘法" 互換, 並會求效果相反的 elementary row operation.
  2. Triangular Matrices and LU-factorization
    1. Upper triangular matrix (上三角矩陣): 對角線 (不含) 以下全部為 0 的矩陣.
    2. Lower triangular matrix (下三角矩陣): 對角線 (不含) 以上全部為 0 的矩陣.
    3. Q: 所有 lower triangular matrices 與所有 upper triangular matrices 的交集是什麼樣的矩陣?
    4. "腳踏實地法" 可以證得: 數個上三角矩陣的乘積依舊為上三角矩陣; 數個下三角矩陣的乘積依舊為下三角矩陣. (畫圖很容易就可以看出來.)
    5. 觀察: 用 Gauss-Jordan Elimination 在求反矩陣時, 如果都沒有用到列對換 (row-interchange), 則: 前半段所乘的都是 lower triangular matrix; 後半段所乘的都是 upper triangular matrix.
    6. 結論: upper triangular matrix 的反矩陣 (如果它確實有反矩陣的話) 也是 upper triangular; lower triangular matrix 的反矩陣 (如果它確實有反矩陣的話) 也是 lower triangular.
    7. 結論: 用 Gaussian Elimination 在求 A 的 row-echelon form 時, 如果都沒有用到列對換 (row-interchange), 則: A 可寫成下三角矩陣與上三角矩陣的乘積: A = L * U. (注意這裡的條件: A 未必需要是 invertible.)
    8. 把 A 寫成 L*U 有什麼好處? Triangular matrices 比較容易處理, 例如若 A 為 non-singular, 則要解 A x = b 可改為解 L U x = b. 令 U x = y 則可分兩步: 先用 forward substitution 把 y 解出來, 再用 backward substitution 把 x 解出來.

R^n 向量空間

  1. 向量: 固定長度, 固定方向, 但位置可移動的箭頭. 用 "每個方向的位移量" 來表示. 例如 u = (u1, u2, u3).
  2. 向量運算: (重要! 應像 9-9 乘法表一樣熟記!)
    運算 運算式 意義
    加法 u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3) 將兩向量首尾相接, 另兩端點所成的新向量.
    減法 u - v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3) 將兩向量首首相接, 另兩端點所成的新向量.
    乘以常數倍 c*u = (c*u1, c*u2, c*u3) 把向量沿原來的方向延伸那麼多倍.
    長度 |u| = sqrt(u1*u1+u2*u2+u3*u3) 向量的長度
    內積 u ? v = u1*v1+u2*v2+u3*v3 |u| |v| cos(t)
    內積的英文為 inner product 或 dot product. 注意到: 兩向量內積為 0 若且唯若兩者互相 垂直 (orthogonal).
  3. 為什麼按照內積計算出來的值會是兩向量長度與其夾角 cos 的乘積?
    1. 先畫圖導出餘弦公式: c*c = a*a + b*b - 2*a*b*cos(t)
    2. 把向量長度的運算式代進去
  4. 請注意: 以上運算式不論在幾度空間 R^n 都是正確的. (嚴格地說, 當 n>3 時, 其實是我們故意把 "夾角" 定義成讓內積公式保留它的幾何意義.)
  5. (這個定義只在 R^3 有效) 兩向量的 外積 (cross product) 為另外一個向量 a ? b = (a2*b3-a3*b2, a3*b1-a1*b3, a1*b2-a2*b1).
  6. 在 R^3 中, 兩向量 a 與 b 的外積具有以下特性 (值得背一下):
    1. 它與 a 垂直.
    2. 它與 b 垂直.
    3. 它的長度等於 a 與 b 所張出來的平行四邊形面積.
    Q: 給定 a 與 b, 請問 R^3 空間中有幾個滿足以上三個條件的向量? 提示: 把滿足各條件的向量末端繪出來, 各成一個平面或曲面. 求這三個面的交集.
  7. 平面上 a 與 b 兩向量所張出來的平行四邊形的面積為:
    |a| * |b| * sin(t) = ... = |a1*b2 - a2*b1|
  8. 空間中 a, b, c 三向量所張出來的平行六面體的體積為:
    |a ? b| * |c| * sin(u) = ... = | a1*b2*c3 - a1*b3*c2 + a2*b3*c1 - a2*b1*c3 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1 |

Determinants

  1. Determinant (行列式) 的定義 (1): 從 n*n 方陣中任意取出 n 個元素, 每列要恰有一個代表; 每行也要恰有一個代表. 把這 n 個元素相乘, 即得到 determinant 的一項. 總共有 n! 種取法, 把這 n! 項相加減, 即得到 determinant. 其中奇排列用減的; 偶排列用加的.
  2. 幾個最小的例子:
    1. det(A1) = a11
    2. det(A2) = a11*a22-a12*a21
    3. det(A3) = a11*a22*a33 - a11*a23*a32 + a12*a23*a31 - a12*a21*a33 + a13*a21*a32 - a13*a22*31
  3. 一個 n*n 方陣 A 的 minor: 把 A 的第 i 列與第 j 行去掉, 剩下來的那個 (n-1)*(n-1) 方陣 的行列式值 叫做 A 的一個 minor, 記為 Mi,j
  4. Determinant 的定義 (2) (正式的定義): |A| = a11 M11 - a12 M12 + a13 M13 - a14 M14 ...
  5. Q: 數數看這樣定義下來的行列式值公式, 展開後共有多少項? (與線性代數不太相關; 複習一下你的離散數學/排列組合)
  6. 事實上想求行列式值, 不一定要對第一列展開, 可以對任何一列或任何一行展開.
  7. 根據定義, 一個 upper triangular 或 lower triangular matrix 的行列式值很好求.
  8. Elementary row operation 如何影響行列式值?
    1. 對調兩列: 行列式值變號
    2. 整列乘以常數倍: 行列式值也乘以同樣倍數
    3. 整列加上另外列的常數倍: 行列式值不變
  9. 可以想像有所謂的 elementary column operation; 從求行列式的角度來看, 可以想像對一個矩陣做 elementary column operation 的效果, 和對它做 elementary row operation 的效果類似.
  10. 定理: (可以記一下)
    1. |A B| = |A| |B|
      這個非常重要. 這是由上面有關 elementary row operation 的性質證得的; 但是偷偷告訴你記這個就可以不要記上面的性質. (數學家會罵我亂教 ...)
    2. |c A| = c^n |A|
    3. 設 A 為一個 n*n 方陣, 則以下敘述等價: 重要!
      1. A is invertible (non-singular)
      2. 不論 b 為多少, A x = b 必然恰有一解.
      3. A is row equivalent to In.
      4. A 可以寫成 elementary matrices 的乘積.
      5. |A| != 0.
      提示: 請與純量的相對應敘述做比較 (a 的倒數存在, ax=b 恰有一解, a 可化為某些非零數字的乘積, |a| != 0)
    4. |inv(A)| = 1 / |A|
    5. |A'| = |A|
  11. 行列式的幾何應用:
    1. R^2: 測試三點是否共線.
    2. R^2: 給定兩點座標, 求過這兩點的直線方程式.
    3. R^3: 測試四點是否共面.
    4. R^3: 給定三點座標, 求過這三點的平面方程式.
    (公式的內容是其次; 真正重要的是知道給了那些條件, 可以問什麼問題. 你可以不知道 strstr 是怎麼實作的; 但是不能不知道有 strstr 這樣的函數可以幫助你到一個字串當中去找子字串.)

(一般的, 抽象的, 不一定具有幾何意義的) 向量空間

  1. 向量空間
    1. 請比較下列幾個問題:
      1. 試把 5x^2-3x+1 寫成 -x^2+x+1, x^2-x+1, x^2+x-1 這三個多項式的常數倍的和.
      2. 試把 [5, -3; 0, 1] 寫成 [-1, 1; 0, 1], [1, -1; 0, 1], [1, 1; 0, -1] 這三個方陣的常數倍的和.
      3. 試把 5 cos(x) - 3 sin(x) + log(x) 寫成 -cos(x)+sin(x)+log(x), cos(x)-sin(x)+log(x), cos(x)+sin(x)-log(x) 這三個函數的常數倍的和.
      結論: 其實都是在解同一個線性聯立方程組.
    2. 解讀向量空間的定義:
      1. 所有 "向量" 所成的集合 V: 這裡面每個元素都可以是非常 "厚重", "複雜", "沒有學過", "只有外星人才看得懂", ...
      2. 但是元素與元素之間的關係卻很簡單:
        1. 兩個元素相加的結果, 居然又是這個集合 V 當中的另一個元素.
        2. 一個元素乘以常數倍的結果, 居然又是這個集合 V 當中的另一個元素.
      3. 所有元素當中有一個特別的元素, 它是所有力量的平衡, 是宇宙的中心, 任何元素與它相加都沒有變化; 但是 V 這個集合裡面如果少了它就不完整. 我們姑且把它記做粗體字的 0, 稱之為零向量.
    3. 線性代數研究的就是 V 當中 元素與元素之間的關係 (乘以常數倍, 相加, 還有這兩者的組合與變化). 線性代數不研究 V 中元素的內在特性. (可以鬆一口氣了吧?) 因為將來我們所看的定理, 都是根據向量空間的定義導出來的, 幾乎從來不會用到 V 中元素內在的特性 (不要忘記, 這些元素的內在特性可能是非常複雜的, 連數學家都無法理解 ...) 所以這些定理適用的範圍很廣. 更明確地說, 只要是滿足向量空間所有公設 (axioms) 的 V, 我們的定理便可以適用. (有點像是在 C 當中, 你要使用 qsort 時, 必須傳進去一個具有特定行為模式的副程式 cmp, 只要它滿足某些條件, qsort 就會把你的資料排序完成.)
    4. 唯一需要把 V 的元素拆開來看的時候, 是在證明 V 是一個向量空間的時候, 也就是在證明 V 滿足下列公設的時候.
    5. 向量空間的公設:
      公式 英文名稱
      u + v is in V. closure under addition
      u + v = v + u commutativity of addition
      u + (v + w) = (u + v) + w associativity of addition
      u + 0 = u existence of additive identity
      u + (-u) = 0 existence of additive inverse
      c u is in V. closure under scalar multiplication
      c (u + v) = cu + cv distributivity
      (c + d)u = cu + du distributivity
      c (d u) = (cd) u associtivity
      1 u = u scalar identity
    6. 其他可證得的簡單性質:
      1. 0 u = 0
      2. c 0 = 0
      3. 若 c u = 0 則 c = 0 或 v = 0
      4. (-1) u = -u
  2. subspace (子空間):
    1. 定義: 一個向量空間 V 的 (非空) 子集合 W, 如果本身又是一個向量空間, 則稱之為 V 的subspace 子空間. (要使用原來的乘法與加法才算數.)
    2. 定理: 一個向量空間 V 的 (非空) 子集合 W, 如果滿足加法與乘法的封閉性, 則必為 V 的子空間.
    3. 定理: 子空間的交集必為子空間.
    4. Q: R^2 有那些子空間? R^3 有那些子空間? 猜猜看 R^n 有那些子空間?
    5. Q: C[-1,1] 在函數的加法, 及函數與純量的乘法這兩個運算下構成一個向量空間. 試問以下集合是否為 C[-1,1] 的子空間: V1 = { f(x) in C[-1,1] : f(-1)=-1 }, V2 = { f(x) in C[-1,1] : |f(x)| = f(x) for all x in [-1,1] }, V3 = { f(x) in C[-1,1] : f(-1) = f(1) = 0 }.
  3. linear combination (線性組合):
    1. 定義: 一堆 (有限個) 向量的常數倍的和即稱為這些向量的一個 linear combination (線性組合)
    2. 把一個向量化為數個向量線性組合的問題, 其實就是解線性方程組的問題.
    3. 定義: 把一堆 (有限個) 向量 A 的 所有 線性組合搜集起來所成的集合, 稱為 A 的 span; 記為 span(A).
    4. 定理: span(A) 是一個子空間. 不僅如此, 它是所有包含 A 的子空間當中最小的一個.
    5. 定義: span(A) 稱為 A 所張的子空間; A 稱為 span(A) 的一個 spanning set. (注意: 一個子空間可以有很多組不同的 spanning sets.)
    6. 定義: 一堆 (有限個) 向量, 如果只有唯一一種方式可以讓它們的線性組合為 0, 則稱它們彼此 linearly independent (線性獨立); 如果不只一種方式, 則稱它們彼此 linearly dependent (線性相依).
    7. 註: 上面所說的唯一一種方式就是取所有的係數為 0
    8. 定理: 線性相依的一堆向量, 其中必有向量可化為其他向量的線性組合. 反之亦然.
    9. 線性獨立/線性相依的直覺解釋: 在 R^n 當中, k 個向量 (k <= n) 必定落在同一個 k-flat 上. 如果它們竟然落在同一個 (k-1)-flat 上 (它們所張開的平行 xxx 的 x 積等於零), 就叫做線性相依; 否則就叫做線性獨立.
    10. Q: 在多項式的加法, 及多項式與常數的乘法下, 所有的多項式構成一個向量空間. 請問 {x^2-5x+6, x^-4x+4} 這兩個向量線性相依或線性獨立? 若取 x=2 就可以任取不全為 0 的係數讓兩者的線性組合為 0, 這樣對嗎?
    11. 小考必考題: 給你幾個向量, 問它們之間究竟是線性獨立亦或是線性相依; 若是線性相依, 請將其中一個表示為其他的線性組合.
    12. Q: 請描述空間中兩個向量何時線性相依, 何時線性獨立. 三個向量呢?
    13. Q: 若 u 與 v 線性獨立, 試問 u, v, u+v, u-v 當中, 有那幾對也是彼此線性獨立?
    14. (要變成你的反射動作!) 重要圖象: A * x 可以解釋成
      1. A 的行向量的線性組合 (以 x1, x2, ... xn 為係數)
      2. A 的列向量分別與 x 做內積的結果
  4. 基底
    1. 何謂向量空間 V 的一組 basis 基底? 多到足以張出整個 V; 少到彼此線性獨立.
    2. 定理: (uniqueness of basis representation) 給定一組基底, 每個向量可以用唯一的一組數字 (即線性組合當中的係數) 來表示. (而不會出現 "兩組數字都代表同一個向量" 的窘境.) 換句話說, 一組基底之於它所張的向量空間, 就像一個長度的單位之於長度這個觀念一樣, 可以把一個觀念化簡為數字表示出來. (給定一個長度單位, 每個長度可以用唯一的一個數字來表示, 而不會出現 "兩個數字都代表同一個長度" 的窘境.)
    3. 定理: 一個向量空間 V 它的每一組基底的元素個數都一樣. 把這個固定的元素個數稱為 V 的 dimension
    4. 對基底的直覺解釋: (以 R^3 為例) 在原點上隨便豎起三根不共面的筷子 (長度不必一樣), 成為一組基底. 想像把這樣一組筷子複製無限多份, 平移到空間中各處, 形成一個筷子方格網 (每個方格都是一模一樣的平行六面體), 如此一來空間中每個方格頂點 (筷子交叉處) 都可用一組 (三個) 整數座標表示. 空間中其他點也可用一組實數座標表示.
    5. 定理: 從 n 維向量空間 V 當中隨便挑 n 個向量, 如果它們彼此線性獨立, 則它們可構成 V 的一組基底.
    6. 定理: 從 n 維向量空間 V 當中隨便挑 n 個向量, 如果它們可以張出整個 V, 則它們可構成 V 的一組基底.
    7. 說明: 一種好的表示法 (例如用公分描述長度, 用身份證字號描述人, ...) 應該滿足以下三個條件:
      1. 每個物件都可以表示得出來.
      2. 每個物件都只有唯一的一種表達方式.
      3. 不同的物件有不同的表達方式.
    8. 一個 (有點牽強的) 例子: 如何表達顏色? RGB, CMY, HSB (其實顏色的空間並非向量空間, 且 HSB 並不滿足 (2) ).
  5. 矩陣的秩 (rank)
    1. 一個矩陣 A 的 row space: A 的列向量所張出來的空間
    2. 一個矩陣 A 的 column space: A 的行向量所張出來的空間
    3. 定理: 對一個矩陣做基本列運算, 所得到的新矩陣具有相同的 row space. 所以可以用基本列運算化簡矩陣至 row-echelon form, 進而得到 row space 的一組基底.
    4. Q: 為什麼不直接拿原來的列向量當做基底就好了?
    5. 定理: 一個方陣的 row space 與 column space 具有相同的 dimension.
    6. 定義: 一個方陣 A 的 row space (或 column space) 的 dimension 就稱為 A 的 rank 秩.
    7. 定理: 若 A 為一個 m * n 矩陣, 則 A x = 0 的解集合構成 R^n 的一個子空間. 這個子空間稱為 A 的 nullspace, 它的 dimension 稱為 A 的 nullity.
    8. 幾何解釋: 與 A 的所有列向量垂直的向量有那些?
    9. 定理: 若 A 為一個 m * n 矩陣, 則 rank(A) + nullity(A) = n.
    10. 直覺提示: n 為變數個數 ...
    11. 定理: (如何求 A x = b 的所有解) 若 x0 為 A x = b 的一組解, 則完整的解集合即是 { x0 + xh : xh 屬於 A 的 nullspace }.
    12. 幾何解釋: A x = b, A x = c, A x = d, ... 等等各題的解集合為空間中平行的 k-flat 其中 k 為 A 的 nullity.
    13. 定理: A x = b 為 consistent 若且唯若 b 屬於 A 的 column space.
    14. 定理: 與 "A 為 invertible" 這句話 (及其他許多句話) 等價的還有: "A 的行向量線性獨立", "A 的列向量線性獨立".
  6. 座標及座標轉換
    1. 定義: 在向量空間 V 當中, 把一個向量 x 用一組基底 B 的線性組合來表示時, 所取的係數稱為 x 相對於 B 的 座標 (coordinates), 記做 [x]B.
    2. 直覺解釋: 向量是我們真正有興趣的東西; 基底是度量用的單位; 而座標則只是一組數字, 脫離基底單獨存在並沒有任何意義. 例如 "臺灣島的海岸線長度為 1139 公里" 這句話當中, "臺灣島的海岸線長度" 是我們真正有興趣的東西, 就算這個世界上沒有人在這裡測量, 它還是存在; 公里是一個度量用的單位; 而 1139 只是一組數字, 脫離 "公里" 單獨存在並沒有任何意義. 請仔細對照比較: 
                      向量     = 基底     * 座標
                真實的量 = 度量單位 * 讀數
      (注意: 如果我們把基底與疪標都用行向量表示, 則基底一定要寫在左邊.)
    3. 平常我們寫 (2, -3, 5)^T 的意思其實是把 x = 2e1 - 3 e2 + 5 e3 這個向量用 "它相對於標準基底 S = { e1, e2, e3 } 的 座標" 來表示. 所以嚴格說來, 我們不應該寫 x = (2, -3, 5)^T, 而應該寫 [x]S = (2, -3, 5)^T.
    4. transition matrix: 把 (可以是很抽象的) 向量空間 V 當中的一組基底 C = { c1, c2, ... cn } 的每個向量用 V 當中的標準基底寫出它的座標: [c1]S, [c2]S, ... [cn]S 得到 n 個 R^n 當中的行向量. 把這 n 個 R^n 當中的行向量並排在一起, 形成一個 n*n 方陣, 我們姑且把它記為 [C]S. 請仔細思考下式的意義:
      [C]S [x]C = [x]S
      "若已知向量 x 相對於 C 的座標, 則在它左邊乘上 「C 相對於標準基底的座標」, 可以求得向量 x 相對於標準基底的座標". 所以稱 [C]S 為 transition matrix from C to S.
    5. 請比較:
      1.609 * 707.9 = 1139
      "英哩" 這個單位用 "公里" 來表示, 它的值是 1.609; "臺灣海岸線長度" 用英哩來表示, 它的值是 707.9; "臺灣海岸線長度" 用公里來表示, 它的值是 1139.
    6. 不過我們平常比較常問的問題是: "已知向量 x 相對於標準基底的座標, 求它相對於新基底 C 的座標", 那麼就把上式倒過來用:
      [x]C = ([C]S)(-1) [x]S
      (所謂倒過來用當然不是隨便把等式亂改, 而是把輸入與輸出互換, 看應該如何調整原等式.)
    7. 座標轉換 (change of coordinate system; change of basis) 當然不僅止於標準基底與非標準基底, 也可以在兩套非標準基底之間發生. 可以從下列兩個式子當中隨便選一個來理解:
      1. [C]B [x]C = [x]B
      2. [C]S [x]C = [B]S [x]B
    8. 請比較:
      1. 1.151 * 615.0 = 707.9
      2. 1.852 * 615.0 = 1.609 * 707.9
      1 海浬 = 1.151 英哩; 1 英哩 = 1.609 公里; 1 海浬 = 1.852 公里.
      臺灣海岸線長度 = 1139 公里 = 707.9 英哩 = 615 海浬.
    9. 如果連續做好幾次座標轉換呢? 每次都把最新的 transition matrix 乘在最左邊.

(一般的, 抽象的, 不一定具有幾何意義的) 內積空間

  1. 內積空間的定義: 一個向量空間加上一個 "傳入兩個向量, 傳出一個純量" 的內積函數 inner product, 即稱為一個內積空間 inner product space. 兩個向量 u 及 v 的內積記作 < u, v >, 且這個函數必須滿足下列公設 (axioms):
    1. < u, v > = < v, u >
    2. < u, v + w > = < u, v > + < u, w >
    3. c < u, v > = < c u, v >
    4. < v, v > 必然大於或等於零, 而且等號只有在 v = 0 時才成立.
  2. 內積的性質:
    1. < 0, v > = < v, 0 > = 0;
    2. < u + v, w > = < u, w > + < v, w >
    3. c < u, v > = < u, c v >
    (後兩項其實都只是把交換律應用到定義所得的結果而已.)
  3. 由內積衍生出來的定義:
    1. 定義向量 u 的 norm (length, 長度) 為 | u | = sqrt(< u, u >)
    2. 定義向量 u 與 v 之間的 distance (距離) 為 d(u,v) = | u - v |.
    3. 定義向量 u 與 v 之間的 夾角 為 < u, v > / ( |u| * | v | ) 的 cos^(-1)
    4. 若 < u, v > = 0 則稱 u 與 v orthogonal (正交).
  4. 內積的直覺解釋: 為了要能夠表達兩個向量之間的夾角, 及一個向量之間的距離, 而定義出來的觀念. 一個向量空間 (例如 P_n) 上可以定義很多種不同的內積 (例如對應項係數乘積的和, 或定積分); 究竟那一個定義比較符合直覺或符合應用問題的需要, 就多少需要主觀的判斷了.
  5. 重要定理:
    1. Cauchy-Schwarz Inequality (哥西/舒瓦茲不等式): | < u, v > | <= |u| * |v|
    2. Triangle Inequality (三角不等式): | u + v | <= |u| + |v|
    3. Pythagorean Theorem (畢氏定理): u 與 v 正交 若且唯若 |u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2
  6. 定義: orthogonal projection of u onto v (u 在 v 上面的投影?): (< u, v > / < v, v >) v
  7. 投影的特性: u 在 v 上面的投影, 是 v 的延伸線上所有向量當中, 離 u 最近的一個.
  8. 定義: 一組基底 B, 若其中所有向量兩兩正交, (則 B 內所有向量必然線性獨立) 則稱 B 為一組 orthogonal basis (正交基底); 一組正交基底 B, 若其中所有向量均為單位向量, 則稱 B 為一組 orthonormal basis (正么基底).
  9. 例: 在 C[0, 2pi] 中, 若以一般的定積分做為內積的定義, 則 S = { 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... sin nx, cos nx } 為 span(S) 的一組正交基底.
  10. 為何我們喜歡使用正么基底? 因為座標轉換容易: 若 B = { v_i | i = 1,2, ... n } 為一組正么基底, w 為同一個空間中任何一個向量, 則 w = <w, v_1 > v_1 + <w, v_2 > v_2 + ... + <w, v_n > v_n (提示: 以 R^n 為例, 若把一組正么基底寫成一個 n*n 方陣 A, 則 A^T * A = I, 也就是說 A^(-1) = A^T, 所以兩個方向的座標轉換都不必解聯立方程組, 只要做矩陣乘法)
  11. Gram-Schmidt Orthonormalization Process: 如何從一組基底 V = { v_i | i = 1, 2, ... n } 產生出另外一組正么基底 U = { u_i | i = 1, 2, ... n } 且 span(U) = span(V)? 
            u_1 = v_1 / |v_1|
u_2 = w_2 / |w_2| 其中 w_2 = v_2 - <v_2,u_1>u_1
u_3 = w_3 / |w_3| 其中 w_3 = v_3 - <v_3,u_1>u_1 - <v_3,u_2>u_2
        ...
    如何求 w_(i+1)? 把前 i 個向量所張開來的子空間找出來, 把 v_(i+1) 在這個子空間上的投影去掉, 就是 w_(i+1). 再找出這個方向的單位向量, 就是 u_(i+1).
  12. QR factorization: 若把 R^m 當中 n 個線性獨立的向量 (當然 m >= n) 寫成一個矩陣 A, 則根據 Gram-Schmidt Orthonormalization Process 的過程, 可以把 A 化為 Q 與 R 的乘積, 其中 Q * Q^T = I (它的行向量就是最後產生出來的那組正么基底), 而 R 為一個上三角矩陣.
  13. 最小方差問題: 欲解 A x = b, 但無解時 (通常是因為條件個數太多, 變數個數太少), 可以改解 A^T (A x' - b) = 0. 這個方程組稱為原方程組的 normal equations. 所得到的這個解 x' 當然不一定滿足原方程組, 但它是所有 x 當中, "讓誤差最小" 的那個解. (最小方差公式的口訣: "讓誤差向量與 A 的 column space 正交!")

Linear Transformations

  1. 矩陣乘以向量的兩種解釋:
    1. alias interpretation: 座標轉換 coordinate transformation
    2. alibi interpretation: 線性映射 linear transformation
  2. simliarity: A' = S^(-1) A S 同一個線性映射, 在兩個不同的座標系統下的表達方式.

Eigenvalues and Eigenvectors

  1. 何謂一個矩陣 A 的 eigenvectors? 那些被 A 作用後, 不改變方向的向量. A x = c x

Hermitian Matrices

hermitian.fgeo

線性代數 => 近代物理 => 哲學

近代物理的哲學觀

物理科網誌
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99課綱教材物理講義解答

作者:物理科網管 日期:2011-11-14 08:32

 

99課綱教材物理講義解答

下載檔案第1章直線運動(99課綱).doc (9.88 MB , 下載:157次)
下載檔案第2章平面運動(99課綱).doc (867 KB , 下載:86次)
下載檔案第3章靜力平衡(99課綱).doc (2.62 MB , 下載:203次)
下載檔案第4章_牛頓定律(99課綱).doc (1.69 MB , 下載:401次)
下載檔案第5章 牛頓運動定律的應用(99課綱).doc (1.1 MB , 下載:128次)
下載檔案第6章萬有引力(99課綱).doc (1.79 MB , 下載:124次)

下載檔案第10章碰撞(99課剛).doc (1.17 MB , 下載:49次) 
下載檔案第11章熱力學(99課綱).doc (501.5 KB , 下載:61次)

下載檔案第12章氣體動力論(99課綱).doc (703 KB , 下載:41次)



 

 

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高三95暫綱教材物理講義解答

作者:物理科網管 日期:2011-11-09 13:57

下載檔案第1章直線運動.doc (1.44 MB , 下載:81次)
下載檔案第2章平面運.doc (1.47 MB , 下載:68次)
下載檔案第3章靜力平衡.doc (3.69 MB , 下載:137次)
下載檔案第4章牛頓定律.doc (4.53 MB , 下載:433次)
下載檔案第5章萬有引力.doc (2.17 MB , 下載:272次)
下載檔案第6章功與動能.doc (714.5 KB , 下載:99次)
下載檔案第7章位能與力學能守恆.doc (2.58 MB , 下載:93次)
下載檔案第8章動量守恆定律.doc (2.39 MB , 下載:108次)
下載檔案第9章轉動.doc (656.5 KB , 下載:93次)
下載檔案第10章流體力學.doc (1.32 MB , 下載:81次)
下載檔案第11章熱力學.doc (757 KB , 下載:83次)
下載檔案第12章氣體動力論.doc (1.23 MB , 下載:71次)
下載檔案第13章波動.doc (1.84 MB , 下載:83次)
下載檔案第14章聲波.doc (702.5 KB , 下載:81次)
下載檔案第15章光的反射.doc (724.5 KB , 下載:122次)
下載檔案第16章光的折射.doc (1.96 MB , 下載:151次)
下載檔案第17章光的干涉與繞射.doc (1.03 MB , 下載:155次)
下載檔案第18章靜電.doc (3.93 MB , 下載:302次)
下載檔案第19章電流.doc (2.06 MB , 下載:203次)
下載檔案第20章磁場.doc (2.94 MB , 下載:91次)
下載檔案第21章電磁感應.doc (1.57 MB , 下載:108次)
下載檔案第22章近代物理的重大發現.doc (1.71 MB , 下載:77次)
下載檔案第24章原子核.doc (450 KB , 下載:80次)

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高一基礎物理ppt檔(ch1、ch2、ch3、ch4、ch5、ch6、ch7)

作者:物理科網管 日期:2009-09-16 23:17

下載檔案Ch7 能量與生活.ppt (5.34 MB , 下載:1234次)下載檔案Ch6 電與磁'.ppt (19.78 MB , 下載:6798次)下載檔案CH5 光''.ppt (14.02 MB , 下載:6940次)下載檔案Ch4.ppt (5.96 MB , 下載:1211次)下載檔案CH3 熱.ppt (12.84 MB , 下載:9168次)下載檔案ch1.ppt (1.43 MB , 下載:1186次)下載檔案Ch2 力與運動.ppt (5.57 MB , 下載:1495次)

有需要的同學請下載吧!!!!

其他之後會陸續上傳~
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97年學年度暑修物理B班

作者:物理科網管 日期:2009-09-14 11:28

致97年學年度暑修物理B班同學
欲領回暑修作業者
請於9/25日前到自然科辦公室取回
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209,210,217物理暑期作業詳解

作者:物理科網管 日期:2009-08-19 17:27

209,210,217物理暑期作業詳解
請參考附件!!
下載檔案98-1高二物理學習評量(ch0-1~2-1)B解答.doc (376 KB , 下載:585次)
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科普

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科學文化頻道／科學新聞台
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麻省理工學院 (上面的中文化網站)
 
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Condense_Physics


介紹入門參考書籍
Introduction to Various Areas of Condensed Matter Physics
(MIT_Introduction to Condensed Matter )
 
量子計算
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普光帝珠網
普光帝珠網

普光者，乃取「普遍光明清淨熾盛如意寶印心無能勝大明王大隨求陀羅尼」之簡稱。經軌言：但聞持陀羅尼題名若一字二字乃至十字者得大利益。

帝珠網者，帝釋天以網張空而為莊嚴，網孔有摩尼寶珠。孔多珠亦多，珠珠各攝森羅萬象，而互攝互融。以帝珠網比喻系列網站連結互融互攝重重無盡之意。

如何隨喜作大功德

http://www.ucchusma.net/samanta/index1.htm

 

★普光居士出版之著作一覽：

（1）七俱胝佛母准提王法要集（西元2006年10月由「中和法明寺」出版）--已無存書

（2）末法明燈：殊勝的準提陀羅尼（2007年4月由「彰化清明寺」出版）

（3）觀世音菩薩六字大明咒集要（2008年2月由「彰化清明寺」出版）

（4）利樂人生的藥師佛（2011年「佛陀教育基金會」出版）

（5）准提神咒持驗集（2011年6月自費出版）

（6）東方淨光——藥師法門集要、藥師佛靈感錄（2011年7月「藥師佛本願推廣中心」出版）

（7）觀世音菩薩六字大明咒集要-2011年修訂版（由薩迦法王賜序。2011年8月「彰化清明寺」出版）

 

★普光居士製作之網站一覽：
如來部

站名：藥師琉璃光如來

成立時間：2004/6

改版：2009/05/04

網址：http://www.bgvpr.org/

站名：安樂道

成立時間：2005/4/14/

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/pure_land/

站名：諸佛名號功德海

成立時間：2007/05/19

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/buddha

站名：不動如來妙喜願海：Aksobhya-buddha

成立時間：2008/03/01

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/Aksobhya
佛母部

站名：七俱胝佛母準提王

成立時間：2002/09

網址：http://www.cunde.org/

站名：佛母大孔雀明王

成立時間：2006/06/10

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/Mahamayuri/

站名：懷攝人天作明母

成立時間：2008

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/Kurukulle
 
菩薩部

站名：六字大明微妙心印

成立時間：2002/09

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/chenrezig

站名：大悲觀世音菩薩

成立時間：2005/08/17

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/avalokiteshvara/

站名：彌勒菩薩大慈尊

成立時間：2005/05

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/maitreya/

站名：大願地藏王菩薩

成立時間：2004/8

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/kshitigarbha/

站名：普賢行願威神力

成立時間：2004/09

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/bhadraya/

站名：金剛薩埵如意寶珠

成立時間：2006年2月

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/Manjusri/

站名：虛空藏菩薩

成立時間：2006/04/12

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/Akasagarbha/

站名：文殊菩薩妙吉祥

成立時間：2006/07/31

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/Manjusri/

站名：多羅菩薩綠度母

成立時間：2006

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/taragreen/
 
金剛部

站名：大忿怒普巴金剛

成立時間：2008/09

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/vajrakilaya/
祖師部

站名：光明善導大師

發表時間：2006/10/04

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/sd/
 
經典部

站名：金剛般若到彼岸

成立時間：2005/7/17

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/vajracche/
法要部

站名：密宗初學安全守則

成立時間：2004/9

網址：http://www.ucchusma.net/samanta/safe

站名：萬惡淫為首

成立時間：2010/06

網址：http://www.bgvpr.org/retribution/
 
道場部

站名：清明寺全球資訊網

成立時間：2006

網址：http://www.chingming.org

站名：薩迦派中文官網

成立時間：2008

網址：http://www.hhtwcenter.org
普願

四生九有

同登華藏玄門

八難三途

共入毘盧性海

南無華嚴海會佛菩薩

普回向偈

願以此功德　消除宿現業
增長諸福慧　圓成勝善根

所有刀兵劫　及與饑饉等
悉皆盡滅除　國泰民康寧

出資贊助者　誦持流通者
現眷咸安樂　先亡獲超升

所求皆果遂　隨願生淨土
法界諸含識　同證無上道

願所有弘法功德，回向贊助、流通、見聞、隨喜者，及皆悉回向盡法界、虛空界一切眾生，依佛菩薩威德力、弘法功德力，普願消除一切罪障，福慧具足，常得安樂，無諸病苦。欲行惡法，皆悉不成。所修善業，皆速成就。關閉一切諸惡趣門，開示人天涅槃正路。家門清吉，身心安康，先亡祖妣，歷劫怨親，俱蒙佛慈，獲本妙心。兵戈永息，禮讓興行，人民安樂，天下太平。四恩總報，三有齊資，今生來世脫離一切外道天魔之纏縛，生生世世永離惡道，離一切苦得究竟樂，得遇佛菩薩、正法、清淨善知識，臨終無一切障礙而往生有緣之佛淨土，同證究竟圓滿之佛果。

訪客 Counter 人次

 

涅槃經曰：若有善男子善女人。

一聞大乘經。億百千劫不墮三塗八難。

於一恒河沙諸佛前種善根。得暫聞大乘經。

於二恒河沙諸佛前種善根。得聞大乘經。不生誹謗。

於三恒河沙諸佛前種善根。能歡喜禮拜。

於四恒河沙諸佛前種善根。能書寫流通。

於五恒河沙諸佛前種善根。能受持讀誦。

明知大乘經甚難得。

如何隨喜作大功德

http://www.ucchusma.net/samanta/index1.htm

 
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2011/01/20

台北縣私立大同育幼院

台北縣私立大同育幼院

沿革
民國42年6月，許英女士創設本院，迄51年1月經董事會議決，奉准贈與 CCF 接辦，翌年元月聘劉寶鏗任院長，重整院務，改為家庭式教養並新建家庭式院舍。

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2011/01/20

台北市市立華興育幼院

台北市市立華興育幼院

民國四十四年一月，大陳島居民一萬八千餘人追隨政府全部撤退來台，遺孤難童數百人極待救助， 蔣夫人一本抗戰時期撫育遺孤與戰區難童之仁慈精神，乃創設"華興"，收容離家背井之大陳義胞子弟及國軍烈士遺孤，初設育幼院、幼稚園與小學部，民國四十七年復設華興中學初中部，民國五十八年秋增辦高中部，收容對象亦擴及一般社會孤苦無依之孤兒、貧病之榮民子弟、泰北難童及棒球隊學生。

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2011/01/20

財團法人佛教私立禪光育幼院

財團法人佛教私立禪光育幼院

本院係由位於花蓮縣太魯閣國家公園內禪光寺之開山住持故上心下性長老，因感於佛家慈悲喜捨濟世的精神，入世濟貧扶幼，特結合各界善心人士的愛心贊助，終於在民國65年創建禪光育幼院。

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2011/01/20

財團法人台北市私立體惠育幼院

財團法人台北市私立體惠育幼院

知福˙惜福˙努力向上

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2011/01/20

台北市私立伯大尼兒少家園

台北市私立伯大尼兒少家園

英國女傳教士艾偉德女士在中國大陸開辦「六福客棧」，接待過往旅客，藉以向他們傳揚福音。

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2009年3月17日星期二

我猜-麻雀變公主-2號玉婷-凱渥Model-kiwi0108-170

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暱稱: 簡尼龜  
血型: Ｏ  
體重: 目標４５  
職業: 【學生人】  
喜歡的: Ｇｒｅｅｎ’ｓ♡♡ 香水  
討厭的: 騙我的人、【遺憾】的感覺  
關於我: 請不要大驚小怪！ 我只是個普通人！ http://tw.club.yahoo.com/clubs/Angel_Chien/  

相簿: http://www.wretch.cc/album/kiwi0108

 

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於 3/17/2009 01:56:00 下午 標籤： , , 2 意見

2008年9月22日星期一

凱渥名模-林葦茹-ruru1732004-175

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第一名模：林葦茹

生日：1981/11/28

血型：O型

身高 : 175 cm
三圍 : 33.24.35
興趣 : 畫畫、煮菜
最滿意自己的地方 :
模特兒資歷 :
目前所屬公司 : 凱渥

相簿: http://www.wretch.cc/album/ruru1732004

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於 9/22/2008 03:26:00 下午 標籤： , , 0 意見

2008年8月29日星期五

凱渥夢幻之星2 “小舒淇”林佳陵-pudding68-175

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林佳陵身高175公分，

3圍34E、25、35.5，

有幾分神似舒淇、林嘉綺，外型佳

相簿: http://www.wretch.cc/album/pudding68

 

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於 8/29/2008 09:33:00 上午 標籤： , , 0 意見

2008年7月25日星期五

凱渥第二屆的夢幻之星選拔賽-小V-blingcat-172

 

小V
  • 年齡：22 學歷：大學/大專
  • 身高：172 體重：51
  • 三圍：32-23-34 留言回應：507則
自我介紹：
HELLO～大家好我是小V！經過一段時間的省思及幾番嘗試，最終確定MODEL就是我今生最熱愛且錯過了將會懊悔一輩子的職業，雖然錯過了去年的比賽，我期待自己在今年能夠有亮眼的成績！希望大家多多給我支持與鼓勵，若有尚須改進之處也請不吝指教！ ：）

http://tw.catwalk.fashion.yahoo.com/profile/id/dmFsZW50aW5lX2Zpc2gjYWg-

相簿:

http://www.wretch.cc/album/blingcat

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於 7/25/2008 06:37:00 下午 標籤： , , 0 意見
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